負の確率を含む量子系の相対論効果と、ワイル方程式の第一原理からの導出
abstract
量子力学おける弱測定・弱値は、負の確率をもたらし、その結果は虚のエントロピーの存在を意味している。虚数は順序数でないため、時間の矢の方向を上手く定義できない。逆にそのことから、量子力学の不確定原理が特殊相対論効果であることの考察を行った。また量子がミンコフスキー時空で記述されるべき存在であるという仮定から、１次元時空でのワイル方程式の導出を試みた。そしてこれらの考察が正しいかどうかの実証実験を提案した。
Introduction
量子力学において、弱測定・弱値という概念の重要性が高まりつつあるが、弱値において、１以上の確率や、０以下未満の確率が付随することが理論・実験の両面から明かになっている。ただしこれらの値は総体として、不都合な部分は相殺されるので、問題は発生しないとされている。はたしてそうだろうか。この事の理解を深めるために、我々は下記のように、負の確率を含むが総和が１である\( p_{1}, p_{2}, -p_{2} \)のような系でのエントロピーを考えてみる。
\begin{equation}
S = - p_{1}\log(p_{1}) - p_{2}\log(p_{2}) + p_{2}\log(-p_{2}) = -p_{1}log(p_{1}) + p_{2}\pi i
\end{equation}
このように、エントロピーが複素数の値を取るため、それは確率の和がたとえ１となるとしても、全てを消去することは一般的に不可能である。いわゆる時間の矢は、エントロピーの増大する方向に進むとされている。しかし複素数は順序数でないため、"増大"を定義できない。これはすなわち素粒子の時間の進む方向、いわゆる時間の矢の方向を、弱値の場合は定義できないことを意味する。このことをどのように解釈すればいいだろうか。
Method
ここで我々は時間と空間の性質の違いについて深く考えてみたい。両者は相対論的な見地から、同質であるとされるが、時空における粒子の運動を考えた場合、実際は素粒子は空間座標は自由に移動できるが、時間座標に関してはそうではなく、過去から未来へしか移動できない。ところでミンコフスキー時空において、空間の値は実数であるが、時間については虚数で表わされる。このことは、空間はさかのぼれるが時間はそうでないことの性質を、偶然とはいえ表現しているように考えられる。実数は順序数である。しかし虚数は順序数でない。つまり、空間は位置の前後を定義することが可能であるため、前に移動する、後ろへ退く、という運動が容易に区別できるが、時間について言えば、過去と未来を区別することが出来ない、すなわち過去へさかのぼる、未来へ進む、という事が区別できない。
さらに、素粒子が２次元のミンコフスキー時空に存在することを考える。この素粒子座標は、複素平面で表すことができる。無論、実部が空間で、虚部が時間である。その複素平面上での素粒子の時空での位置を考えた場合、これもやはり先ほどの時間についてと同様、座標の時間に伴う移動を予測できない。なぜなら複素数はやはり順序数でないため、その移動の予測というものを論理学的に組み立てることが不可能だからである。このことは重要である。つまり、時空での位置を予測できない、ということは、これはそのまま量子力学での不確定性原理と一致するからである。そこで我々は、不確定性原理は、素粒子の座標がミンコフスキー時空での複素平面上に存在するために発生する現象である、と考えたい。誤解を恐れず言えば、不確定性原理は特殊相対論性効果である、と主張できる。
このように粒子の時空での位置を捉えた場合、色々と都合のよいことがある。いくつか例を挙げる。まず、量子の粒子と波動の二重性である。複素平面上とはいえ１点に存在するのだから紛れもなく粒子であるし、存在を複素数で捉えるため、自然に波動性を持つ。
また、時間は、一般相対論では空間と同等の存在だが、量子力学では単なるパラーメータとしてしか扱わないという、時間の２面性も説明可能である。空間での座標は、言うまでもなく実数であり、曖昧であってはならないが、実際は複素数の一部であるため、古典的な把握と、量子力学の把握で差分がある。量子力学の立場で把握した場合、ぼんやりとしか測定できない。それに対し、時間は元から虚数として捉えてよいものである。それは量子力学でもなんら変わることがない。このように量子力学では、同じ時空の座標であっても、差が存在する。
さて、不確定性原理の構造が判明したのであれば、そのことから、量子を支配する波動方程式を導き出せそうである。簡単のため、２次元時空での質量ゼロ・ポテンシャルエネルギーゼロを考える。
まず、複素平面での関数であるということから、この関数は正則関数でなければならない。すなわち、以下のコーシー・リーマンの関係式を満たすことが数学的に結論できる。
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial t},\;\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\end{equation}
\(u\)は関数の実部、\(v\)は虚部である。ここで、\(u\)を\( \varphi _{u} \)、\(v\)を\( \varphi _{v} \)と置いて、下記のように書きかえる。
\begin{equation}
\frac{\partial \varphi _{u}}{\partial x} = \frac{\partial \varphi _{v}}{\partial t},\;\frac{\partial \varphi _{u}}{\partial t} = -\frac{\partial \varphi _{v}}{\partial x}・・・・・(1)
\label{eq:phi1}
\end{equation}
この方程式の一般解\( \varphi (x, t) = \varphi _{u} + \varphi _{v} \)は、下記のような形式となる。
\begin{equation}
\varphi (x, t) = e^{i(x \pm ct)} \pm e^{i(x \mp ct)}・・・・・(2)
\end{equation}
ここで改めて２次元時空でワイルの方程式を書き下してみよう。
\begin{equation}
i \hbar \sigma _{x} \frac{\partial}{\partial t} \varphi (x, t) = -i \hbar c \sigma _{y} \frac{\partial}{\partial x} \varphi (x, t)・・・・・(3)
\label{eq:phi2}
\end{equation}
ここで、\(\sigma _{x}\)、\(\sigma _{z}\)はパウリ行列である。この方程式が、一般的に平面波解を取るとすると、
\begin{equation}
\varphi (x, t) = \left( \begin{array}{rrcr} e^{i(x - ct)} + e^{i(x + ct)} \\ e^{i(x - ct)} - e^{i(x + ct)} \end{array} \right)・・・・・(4)
\end{equation}
式(2)と、式(4)は、似たような形式となっている。違いは、\(e^{i(x - ct)} + e^{i(x + ct)}\) と \(e^{i(x - ct)} - e^{i(x + ct)}\)の２つが、スピノール形式を取っているか、そうでないか、だけである。なので、両者を同等と置いても問題無さそうである。ここで導いた方程式の絶対値の２乗が、ニュートリノなどの、質量ゼロ・ポテンシャルエネルギーゼロの素粒子の、二次元時空での存在確率となる。
ただし、ワイル方程式を満たす解が、全て式(1)を満たす訳ではない。幾つかの非線形な解は、式(1)を満たさない。例えば、\(log(x \pm t)\)などである。しかしこのような解が物理的に意味があるとは思えないので、例外と考えたい。
Discussion
今回、２次元時空の場合について考えた。現実は４次元時空だから、意味がないかというと、そのようなことはない。特殊相対性理論では、物体の運動をある意味、２次元時空で捉える。物体の進行方向と時間である。私の考察も同様に考えたい。そうすれば粒子の進む方向と時間で複素数を構成できる。これを基本として、残りの２次元、さらに質量やポテンシャルエネルギーを追加し、トポロジカルに展開してゆくことで、４次元のディラック方程式を構成できると考えている。
Conclusion
今回の結果は、量子の基本的な性質が、時空座標が複素数であることから導かれ、それは時空がミンコフスキー時空であることから自然に導出されるため、不確定性原理が特殊相対論効果と言えることを示した。そして素粒子の運動を予測する関数がコーシー・リーマンの関係式を満たすことから、２次元時空におけるワイル方程式と同質の方程式を導出することができた。